David Hilbert – Jahrhundertprobleme und ein unendliches Hotel

Name: David Hilbert

Lebensdaten: 23. Januar 1862 in Königsberg bis 14. Februar 1943 in Göttingen

In aller Kürze: David Hilbert war einer der einflussreichsten Mathematiker der letzten zwei Jahrhunderte. Bis heute sind vor allem zwei seiner Werke legendär: seine 23 Probleme und sein Hilbert Hotel.

Im Detail: Wir hatten David Hilbert schon als Fürsprecher Emmy Noethers kennengelernt. Aber er war auch selbst nennenswert, gilt er doch heute als einer der bedeutendsten Mathematiker der letzten 200 Jahre.

Geboren wurde er am 23. Januar 1862 in Königsberg (heute Kaliningrad, russisch: Калинингра́д). Er stammte aus dem gebildeten Bürgertum. Sein Vater Otto war Jurist und Amtsgerichtsrat und seine Mutter Maria Theresia kam aus einer Kaufmannsfamilie. Außerdem war Königsberg allgemein gesprochen eine sehr bildungsaffine Stadt. Es war ab 1724 die Hauptstadt Preußens, welches 1717 die Schulpflicht eingeführt hatte. Von da an entwickelte es sich zu einem Zentrum der Forschung und Bildung, welches eine Vielzahl kluger Köpfe hervorbrachte – unter anderem Immanuel Kant, der von 1724 bis 1804 sein ganzes Leben und Wirken in Königsberg hatte. Insofern war dem jungen David Hilbert eine solide Grundlage geboten, auf seiner natürlichen Begabung eine monumentale Karriere zu errichten.

Dass er Mathematiker wurde, war ihm allerdings weniger in die Wiege gelegt. Zunächst einmal war sein Vater dagegen, auch wenn seine Mutter ihn unterstützte. Außerdem reden wir hier nicht von einem mathematischen Wunderkind, auch wenn er später als solches bezeichnet wurde.

David Hilbert befasste sich mit der Mathematik im größeren Maße erst, als er ein Jahr vor dem Abitur die Schule wechselte und auf das mathematisch orientierte Wilhelms-Gymnasium ging. Es gibt zwar einige Anekdoten dazu, wie mathematisch versiert er bereits als Schüler gewesen sein soll, aber nicht nur sind diese fragwürdig, sie sind auch nicht derart beeindruckend, dass man hier von überragender Begabung sprechen könnte. Der Junge schloss mit Bestnote in Mathematik ab, aber das taten Tausende in seiner Generation. Viel mehr war Hilbert jemand mit einem soliden Talent, der sich durch gute Förderung und fleißige Arbeit zum Status des Genies hocharbeitete.

Passenderweise begann dieser Aufstieg David Hilberts im Alter von 18 Jahren mit dessen Studium. („Studium“ ist lateinisch für „Eifer, Bemühung“.) Direkt vor Ort hatte er eine der renommiertesten Hochschulen für Mathematik der damaligen Welt, die Albertus-Universität in Königsberg. Der etablierte Professor Heinrich Weber erkannte sofort Hilberts Begabung und Fleiß, und förderte ihn umgehend. So verbrachte der junge Student schon sein zweites Semester an der Universität Heidelberg.

Bereits 1885, im Alter von bloß 23 Jahren, erlangte Hilbert seinen Doktortitel. Seine Doktorarbeit trug den Titel Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen. (Nein, der Autor dieses Artikels weiß leider auch nicht, was das bedeutet. Zu allgemeinverständlichen Konzepten kommen wir noch – keine Sorge.)

Im nächsten Jahr bereiste Dr. Hilbert zwei große Universitäten in Europa: Leipzig und Paris, wobei er vom Stand der mathematischen Forschung in Frankreich wohl eher enttäuscht war.

Zurück in Königsberg habilitierte sich David Hilbert bereits 1886 mit einer Schrift zu dem Thema der Invariantentheorie. (Wieder keine Ahnung, was das heißen mag.) Bis zu seinem Ruf 1892 war er Privatdozent, weiterhin in Königsberg. In dieser Zeit veröffentlichte er mehrere Artikel, die in der Fachwelt viel Beachtung fanden.

Nicht nur seine Karriere stieg steil an. Auch Hilberts Privatleben entwickelte sich zunächst sehr positiv. Seine langjährige Freundin Käthe Jerosch und er begannen eine Romanze und heirateten 1892. Sie würde ihn beruflich den Rest ihres Lebens unterstützen, indem sie seine Manuskripte korrigierte und in Reinschrift brachte.

Auf der persönlichen Ebene kam jedoch bald die Katastrophe, als das einzige Kind der beiden 1893 zur Welt kam. David und Käthes Sohn Franz war offenbar mental derart schwer beeinträchtigt, dass sich später das Gerücht verbreiten würde, David und Käthe wären eng miteinander verwandt, weil die Leute sich Franz’ geistige Behinderung nur durch Inzucht erklären konnten.

Der Junge war nicht nur intellektuell kaum in der Lage, die Schule abzuschließen, er litt auch an massiver psychischer Erkrankung. Damals war die Psychologie sowohl in der Behandlung, als auch der Diagnostik nicht annähernd so weit wie heute, weshalb wir gar nicht genau feststellen können, welche mentale Erkrankung der Sohn eigentlich hatte. Auf jeden Fall war dieser sein Leben lang auf Betreuung angewiesen und musste entweder bei den Eltern leben oder in einer Anstalt verweilen. Der Vater konnte die Krankheit seines Sohns nicht ertragen und bevorzugte letztere Lösung, aber die Mutter wollte ihn nicht aufgeben.

Der Sohn wurde deshalb zu einer massiven Belastung für die Ehe Hilberts. Die Pflege von Franz fiel nach damaligen Rollenvorstellungen dessen Mutter zu, wodurch diese praktisch keine Freundschaften pflegen konnte. David Hilbert hatte ein recht modernes Rollenbild, war aber nicht bereit zu helfen, weil er seinen Sohn in einer Anstalt dauerhaft untergebracht sehen wollte. Er mied ihn zunehmend, erstrecht nachdem besagtes Gerücht über dessen Inzestzeugung entstanden war.

Während David Hilberts Privatleben nach gutem Start zur Tragödie wurde, so setzte seine Karriere ihren steilen Anstieg fort. 1893 wurde er zum Professor. 1895 folgte er einen Ruf nach Göttingen, wo er den Rest seines Lebens wohnen sollte. Die Stadt war in dieser Epoche eine absolute Hochburg der Mathematik – die legendären Mathematiker Carl Friedrich Gauß und Bernhard Riemann waren hier Professoren gewesen. Vielleicht war es eine Flucht vor seinem Privatleben, aber mit großem Eifer sollte Professor Hilbert sich in diese Riege der mathematischen Genies einreihen.

Aus einer kosmopolitischen Stadt wie dem damaligen Königsberg in das sehr viel konservativere Göttingen umzuziehen, war für Hilbert wohl nicht gerade einfach. Aber sein Wirken war schon bald enorm. Als guter und nahbarer Referent machte er sich bei seinen Studenten beliebt. Seine Beiträge zur Mathematik machten ihn bald legendär in der Fachwelt. Über die nächsten Jahre und Jahrzehnte versuchten andere Universitäten immer wieder, Professor Hilbert abzuwerben. Doch dieser blieb Göttingen treu und machte es zu einem leuchtenden Zentrum der mathematischen Forschung. Hilbert befasste sich mit einer ganzen Bandbreite unterschiedlicher Fachbereiche, die für diesen Artikel deutlich zu weit führen.

Hilbert förderte nicht nur die Mathematik, er förderte auch jede Menge Mathematiker. Seine Fähigkeiten als Dozent wurden bereits erwähnt, seine Unterstützung für Emmy Noether steht sogar im zweiten Artikel, der auf dieser Seite überhaupt erschienen ist. Des Weiteren hatte Professor Hilbert im Laufe seiner Karriere 69 Doktoranden, die er kompetent anleitete. Darunter waren auch sechs Frauen, was für seine Zeit außergewöhnlich viele waren.

Tragischerweise lebte Hilbert lange genug, um den Niedergang seines Wirkens zu erleben. Als die Nationalsozialisten an die Macht kamen, war dies ein harter Schlag für die Forschung in Deutschland im Allgemeinen und die Mathematik in Göttingen im Speziellen. Weil viele der Wissenschaftler Juden waren oder von dem Naziregime aus anderen Gründen verfolgt wurden, flohen sie aus Deutschland oder wurden gar ermordet. Erschütternd viel Fachkompetenz ging Deutschland auf diese Weise dauerhaft verloren. (Wir sahen diesen Schaden schon öfter, bisher bei Emmy Noether und Lise Meitner, und er wird unweigerlich noch in weiteren Artikeln in Erscheinung treten.)

David Hilbert verstarb am 14. Februar 1943. Mitten im Krieg wurde sein Tod in Deutschland von wenigen Leuten überhaupt wahrgenommen, zumal viele seiner Zöglinge längst das Land verlassen hatte. An amerikanischen Unis dagegen, wo diese Doktoranden untergekommen waren, fanden zahlreiche Gedenkveranstaltungen statt.

Bis heute ist David Hilbert in der Mathematik legendär, unter anderem für zwei Werke, die auch für Laien interessant sind: Seine Jahrhundertprobleme und Hilberts Hotel.

23 Probleme für das nächste Jahrhundert

Im Jahre 1900 fand der zweite internationale Mathematikerkongress in Paris statt. Professor Hilbert war eingeladen worden, einen Vortrag zu halten. Im letzten Jahr des Jahrhunderts schaute die ganze Gesellschaft in die Zukunft und fragte sich, was das 20. Jahrhundert bringen würde. David Hilbert nahm dies zum Anlass, um in seinem Vortrag 23 Probleme aufzuweisen, von denen er sich wünschte, dass deren Lösung zu einem zentralen Programm der Mathematik der nächsten hundert Jahre würde. (Die etwas seltsame Anzahl 23 kam daher zustande, dass Hilbert eigentlich die schöne Zahl 24 haben wollte. Er hatte sogar zwei Probleme zu einem zusammengelegt, um nicht über 24 zu kommen. Dann ließ er am Ende aber doch das letzte Problem weg und so blieben es 23.)

Wenn einer der bedeutendsten Mathematiker seiner Zeit so ein Programm zum neuen Jahrhundert auflegt, dann überrascht es wohl wenig, dass diese 23 Probleme tatsächlich umfangreich untersucht wurden. Viele wurden seitdem gelöst oder als unbeantwortbar identifiziert. Manche bleiben bis heute bestehen.

Die Probleme im Detail schwanken zwischen leichtverständlich („Ist jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen darstellbar?“) und nur für Experten nachvollziehbar („Gibt es nur endlich viele wesentlich verschiedene Raumgruppen im n-dimensionalen euklidischen Raum?“).

Wenn man sie sich jedoch allgemeiner anschaut, dann sieht man, wie David Hilbert einer vergangenen Epoche des Denkens angehörte. Er war einer der letzten Gelehrten, die an eine komplette Verstehbarkeit der Welt glaubte.

Kurz bevor in der Physik die Relativitätstheorie und die Quantenmechanik entdeckt wurden und in der Mathematik die Unvollständigkeit bewiesen wurde, waren die meisten Wissenschaftler der Ansicht, man wäre kurz davor, die gesamte Welt erklären zu können. Hilberts Programm geht ganz offen davon aus, man könne die Vollständigkeit der Mathematik erreichen und damit auch die soliden, ewigen Grundlagen der Physik beweisen.

Schon damals gab es erste Stimmen, die ein Wissenschaftsbild vorsahen, in dem es keine absolute Gewissheit gibt, sondern immer bessere Beschreibungen. („Die Landkarte ist nicht das Gelände.“) David Hilbert setzte sich von dieser Annahme sehr strikt ab. Sein Kredo dazu kam später sogar auf seinen Grabstein:

WIR MÜSSEN WISSEN
WIR WERDEN WISSEN

In dieser Hinsicht sollte Hilbert Unrecht behalten. Noch in den späteren Jahren seines Lebens wurde in der Physik klar, dass das Universum sehr viel komplizierter ist, als man gedacht hatte, und dass bei jeder theoretischen Überlegung einen die Empirie jederzeit einholen kann. In der Mathematik konnte Kurt Gödel 1931 in seinem sogenannten Unvollständigkeitssatz nachweisen, dass die Mathematik immer Aussagen enthalten muss, die man weder beweisen noch widerlegen kann. Dieser Teil von Hilberts Weltbild stellte sich schlichtweg als falsch heraus.

Hilberts Hotel

Wo David Hilbert dagegen richtig lag, ist eine Veranschaulichung, welche er 1924 in einer Vorlesung vorstellte. Um die von Georg Cantor 1877 veröffentlichten Untersuchungen unendlicher Mengen seinen Studenten verständlich zu machen, entwickelte Hilbert das Konzept eines unendlich großen Hotels.

Stellen Sie sich ein Hotel vor mit unendlich vielen Zimmern. Allerdings ist jedes Zimmer belegt, in jedem ist ein Gast.

Jetzt kommt ein weiterer Gast an der Rezeption an. In einem endlichen Hotel müsste man ihn abweisen, doch in einem unendlichen Hotel kann der gewiefte Besitzer das Problem ganz einfach lösen: Er schickt den Gast aus Zimmer 1 ins Zimmer 2, den aus Zimmer 2 ins Zimmer 3 usw. Weil es unendliche viele Zimmer gibt, gibt es keinen letzten Raum, wo ein Gast nicht noch eine Zimmernummer höher verlegt werden könnte. Deshalb ist Zimmer 1 jetzt frei und da kommt der neue Gast hinein.

Jetzt kommt ein Bus mit unendlichen vielen Gästen an. Kein Problem in Hilberts Hotel. Jeder der alten Gäste wird in das Zimmer mit der doppelten Nummer geschickt (1 => 2, 2 => 4, 3 => 6) usw. Wieder gibt es im unendlichen Hotel kein letztes Zimmer, bei dem ein Problem bestehen könnte. Die unendlich vielen neuen Gäste kommen nun einfach in die ungeraden Zahlen.

Am nächsten Wochenende ist besonders viel los und es kommen unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Gästen an Hilberts Hotel. Dieser Fall ist schon schwieriger, aber der Besitzer verwaltet ja nun nicht erst seit gestern sein unendliches Hotel. Er schickt alle Gäste auf den unendlich großen Hof des Hotels und lässt sie sich in unendlich viele Reihen aufstellen: die oberste Reihe die alten Gäste, die zweite die aus Bus 1 usw. So bekommt er ein unendliches Gitter aus unendlich vielen Reihen mit je unendlich vielen Gästen.

Auf den ersten Blick könnte man denken, der Besitzer sollte jetzt Reihe für Reihe den Zimmern zuweisen, aber das funktioniert nicht. Schließlich sind in der obersten Reihe schon unendlich viele Leute. Und es gibt kein Zimmer mit der Nummer „unendlich+1“, welches der erste Gast der zweiten Reihe kriegen könnte. Der schlaue Besitzer geht daher in einem Zick-Zack-Muster durch die Reihen und zählt die Gäste durch. Auf diese Weise kommt der erste so gezählte Gast in Zimmer 1, der zweite in Zimmer 2 usw.

Der Grund, warum all das funktioniert, und was David Hilbert seinen Studenten damit veranschaulichen wollte, war folgender: Wenn wir sagen, dass zwei Mengen gleich groß sind, dann meinen wir damit, dass wir jedem Element aus Menge 1 ein Element aus Menge 2 zuweisen können und umgekehrt. Wenn das genau aufgeht, ist in beiden Mengen gleich viel drin.

Soweit noch banal, aber das ganze wird ziemlich unintuitiv, sobald wir uns unendliche Mengen anschauen. Beispielsweise ist die Menge der natürlichen Zahlen (1; 2; 3; 4; usw.) genauso groß die die Menge der natürlichen Zahlen inklusive null (0; 1; 2; 3; 4 usw.), weil wir jedem Element in der einen Menge ein Element der anderen zuweisen können (0 => 1; 1 => 2; usw.) – genauso wie der eine neue Gast noch in das unendliche Hotel passt. Weil es keine letzte Zahl gibt, geht das auf.

Ebenso ist die Menge der geraden Zahlen (2; 4; 6; 8; usw.) genauso groß wie die der natürlichen Zahlen. Genau wie bei dem einen Bus mit unendlichen vielen Gästen können wir auch hier jeder geraden Zahl eine natürliche Zahl zuordnen.

Das Zuordnen von natürlichen Zahlen zu etwas, nennen wir „abzählen“. Nichts anderes als das tun Sie, wenn Sie bspw. die Zahl der Buchstaben im Namen Hilbert abzählen wollen: H => 1; i => 2; l => 3; usw. bis alle Buchstaben durch sind. Weil es aber eben unendliche viele natürliche Zahlen gibt, sagt man, die Menge der natürlichen Zahlen sei „abzahlbar unendlich“, ebenso die der natürlichen Zahlen inklusive null, die der geraden Zahlen, die der Brüche usw.

Jetzt könnte man meinen, alle unendlichen Mengen wären gleich. Das ist aber nicht der Fall. Denn wenn ein Bus mit allen reellen Zahlen zwischen 0 und 1 an Hilberts Hotel ankommt, muss der Besitzer passen. Die könnte er nicht aufnehmen, selbst wenn alle Zimmer leer wären.

Reelle Zahlen sind alle Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen oder jedes Muster haben können. Zunächst könnte man denken, das sollten ebenso viele sein wie natürliche Zahlen – unendliche viele eben. Der Besitzer sollte doch jeder der unendliche vielen reellen Zahlen eines seiner unendlich vielen Zimmer zuweisen können.

Doch stellen wir uns die unendlich lange Liste vor, die der Besitzer hätte, um die Zahlen als Gäste zu führen. Die sähe vielleicht so aus:

Wenn die Liste unendlich lang ist, sollte sie doch alle unendlich vielen reellen Zahlen aufführen können, oder? – Leider nein. Egal, wie viele Zahlen auch auf der Liste stehen mögen, man kann immer eine Zahl konstruieren, die nicht drauf ist. Dafür muss man nur diagonal durch die Liste gehen. Aus der ersten Zahl nimmt man die erste Nachkommastelle und erhöht sie um 1 (bei 9 geht man auf 0), aus der zweiten Zahl nimmt man die zweite Nachkommastelle usw.

Am Ende hat man eine Zahl, die noch nicht auf der Liste steht, weil sie sich von jeder Zahl auf der Liste an mindestens einer Stelle unterscheidet. Auch mit dieser neuen Zahl kann die Liste nicht komplett sein, weil ich das Ganze einfach nochmal machen kann, um noch eine neue, bisher nicht gelistete Zahl zu erhalten usw., unendlich oft.

Deshalb ist Hilberts Hotel zu klein für die Menge an reellen Zahlen. Es ist unmöglich, sie auf eine abzählende Liste zu bringen, um ihnen Zimmer zuzuordnen. Wir sagen, die Menge sei „überabzählbar unendlich“.

David Hilberts Hotel ist deshalb bis heute eine in der Mathematik legendäre Metapher, weil sie etwas verdeutlicht, was auf den ersten Blick völlig absurd erscheint: Viele Unendlichkeiten sind gleich, selbst wenn es nicht so aussehen mag. Aber manche Unendlichkeiten sind unendlicher als andere.

Ein Kommentar zu „David Hilbert – Jahrhundertprobleme und ein unendliches Hotel

Gib deinen ab

Kommentar verfassen

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden /  Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden /  Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden /  Ändern )

Verbinde mit %s

Diese Seite verwendet Akismet, um Spam zu reduzieren. Erfahre, wie deine Kommentardaten verarbeitet werden..

Bloggen auf WordPress.com.

Nach oben ↑

%d Bloggern gefällt das: